Latitud según líneas horarias
En nuestro afán localizador de piezas gnomónicas, es posible que descubramos para nuestro regocijo una auténtica perla negra sin inventariar, dentro del ya de por sí, explorado universo gnomónico.
Si eso ocurriera y además se tratara de un ejemplar con trazado horizontal carente de gnomon o mal dispuesto, además de proceder a su catalogación, descripción, medición y comunicación pertinente a la autoridad cultural para su inscripción, en su caso, como Bien de Interés Cultural(1), una de las cuestiones a dilucidar será la de comprobar su correcto trazado para la latitud que ha sido diseñada, aunque esta duda también se nos puede presentar en un reloj debidamente catalogado. En ambos casos, teniendo en cuenta la ausencia de dispositivo señalador, la tarea devendrá ardua si no contamos con los conocimientos necesarios.
Si ése es tu caso, como lo era el nuestro, intentaremos en líneas siguientes exponer, gracias a los apuntes y al asesoramiento del dr. arquitecto Carlos Esteve(2), profesor, que lo fue, de Geometría Descriptiva y Expresión Gráfica de la Universidad de Granada, la forma de obtener la latitud de un reloj de sol horizontal de las características expuestas.
Para ello, inicialmente ofreceremos algunas nociones teóricas sobre el trazado de relojes ecuatoriales y su traslación a un plano horizontal, que asimismo podría trasladarse a un plano vertical, como más adelante veremos.
El reloj ecuatorial
Para realizar los cálculos partiremos de un reloj ecuatorial, básico para el trazado de todo tipo de relojes de superficie plana de cualquier inclinación o declinación. Son múltiples los textos que lo demuestran, por lo que nosotros nos limitaremos a incluir su gráfica y unos sencillos comentarios.
Denominaremos PLANO ECUATORIAL al situado en el mismo plano que el ecuador celeste ya que presenta con el PLANO VERTICAL al punto de observación un ángulo lambda (λ) equivalente a la latitud del lugar y, por complementariedad, el ángulo con el PLANO HORIZONTAL es equivalente a la colatitud (90 – λ).
Los tres planos se encuentran alineados en su línea de intersección con el Este (E) y con el Oeste (O) e igualmente con el Norte (N) y con el Sur (S).
Si en el plano ecuatorial trazamos un círculo dividido en 24 tramos de 15º cada uno, obtendremos las 24 horas que transcurren durante el día. A ese trazado lo denominaremos DISCO HORARIO.
El disco horario es atravesado ortogonalmente por una línea recta que denominaremos GNOMON que, dirigida hacia la estrella POLAR alcanza al plano horizontal en el punto H formando con éste un ángulo equivalente a la latitud (λ), y en el punto V, con el vertical formando un ángulo equivalente a la colatitud (90-λ).
Las líneas que van perpendicularmente desde los puntos V y desde H hasta la recta O-E de unión de los planos vertical y horizontal, se denomina MERIDIANA.
Prolongando las líneas horarias del disco ecuatorial hasta la unión de los tres planos –el vertical, el horizontal y el del disco ecuatorial- y uniendo estos puntos con los respectivos puntos H y V obtendremos las líneas horarias correspondientes a un trazado horizontal y vertical, respectivamente.
Calculo de líneas horarias de un reloj horizontal
Para obtener mediante geometría analítica las líneas horarias correspondientes a un reloj horizontal procederemos de la siguiente forma:
En un plano trazaremos dos ejes, uno vertical N-S que denominaremos meridiana y otro horizontal E-O, ambos con centro en P, situando en la líneas PN una circunferencia graduada con centro en A desde el que trazaremos 17 líneas con una distancia de 15º entre ellas que se corresponden con las horas que transcurren desde las IV de la mañana hasta las VIII de la tarde.
Sobre el eje E-O trazaremos un triángulo rectángulo con una línea que parte del punto donde intersecta la línea de la hora III con la línea E-O y forma un ángulo λ para la que se desea realizar el trazado y otra que partiendo de P alcanza a la anterior perpendicularmente en el punto M.
A continuación voltearemos el triángulo rectángulo que hemos realizado para apoyarlo por el cateto menor sobre la meridiana lo que a su vez nos permitirá realizar un trazado de este mismo cartabón, pero ampliado tal como se ve en la figura 4 constituyéndose éste, abatido en vertical sobre el plano horizontal sobre el que estamos realizando el estudio, en el cartabón gnomónico con el que señalaremos la hora mediante su cateto mayor.
Las líneas horarias del reloj horizontal las hemos trazado uniendo los puntos de intersección de las líneas del reloj ecuatorial con el eje EO con el vértice inferior del cartabón gnomónico, punto A que es de centro del reloj.
Estos han sido unos estudios previos básicos para saber el funcionamiento y trazado de un reloj de sol horizontal, pero lo que nos interesa es saber la latitud para la que ha sido trazada la pieza sometida a estudio necesitaremos saber en primer lugar algunas nociones sobre la forma de obtener el arco capaz de un segmento para un determinado ángulo.
Qué es el arco capaz
El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos del plano que unidos con los extremos de un segmento AB forman siempre, desde cada uno de esos puntos, un mismo ángulo. Para obtenerlo daremos los siguientes pasos:
Trazamos la mediatriz de un segmento AB uniendo los puntos C y D obtenidos mediante el trazado de sendos arcos con mismo radio desde de los puntos A y B.
Partiendo de A dibujamos una recta AC que forme un ángulo alfa (α);, que escogeremos de 40º, con la recta AB. A continuación dibujamos otra recta AD que partiendo desde el mismo punto A sea perpendicular a la recta AC.
Con centro en el punto E en que se cruza la mediatriz DC con la recta AD se dibuja una circunferencia que pasará por A y B.
Desde cualquier punto de esa circunferencia se verá el segmento AB según el mismo ángulo α que se aplicó en la recta AC.
Ya hemos obtenido el arco capaz AB con centro en E para un ángulo de 40º.
Obtención de la latitud
Conocer la forma de obtener el arco capaz de un segmento para un determinado ángulo nos facilitará la obtención de la latitud a partir de los segmentos de las horas II y III de la tarde (o IX y X de la mañana) que en un reloj ecuatorial, por traslación, se sitúan a una distancia de 30 y 45 grados respectivamente de la línea meridiana.
El trazado de las líneas horarias para su comprobación y especialmente el de los segmentos que en este caso hemos escogido para su estudio, lo hemos obtenido de una imaginaria pieza localizada de la que, con el fin de manipularla lo menos posible, en lugar de un calco utilizaríamos una ortoimagen fotográfica de ella que posteriormente habríamos impreso a escala 1:1.
En primer lugar obtendremos el arco capaz para el segmento dela hora III, teniendo en cuenta que la línea correspondiente a esa hora en un reloj ecuatorial forma un ángulo de 45º con respecto a la meridiana.
Del mismo modo obtenemos el arco capaz con centro en J, para el segmento de la hora II, sólo que ahora el ángulo será de 30º, que es el que forma la hora II con respecto a la meridiana en un ecuatorial.
Una vez trazados ambos arcos capaces los superpondremos, comprobando que el punto M donde se unen se sitúa justo encima de la meridiana que pasa por la hora XII.
Ahora trasladaremos a una distancia cualquiera la recta MXII a una paralela M’P y desde el punto P trazaremos un arco con radio PM’.
A continuación trasladaremos la recta XII A –siendo este punto el centro del cuadrante del que queremos obtener la latitud para la que ha sido trazado- a una paralela, en línea con la anterior, que denominaremos PA’.
Con centro en P trazaremos un cuarto de circunferencia de radio PA’ que finalizaremos en (A).
A continuación trazaremos la mediatriz de (A)P para obtener su centro y desde él trazaremos media circunferencia.
El punto E donde se encuentren esta última semicircunferencia y el arco trazado con radio P M’ nos ayudará a determinar la latitud para la que ha sido trazado el reloj.
Este ángulo beta (β) equivalente a λ lo obtendremos uniendo el punto P con (A) y (A) con E y comprobaremos que, en este caso, la latitud para la que ha sido trazado el reloj de sol horizontal es de 38º.
Comprobación de trazado
Para una mayor comprensión de los trazados, hemos hecho esta última composición a partir de la primera figura expuesta sobre el trazado de un reloj ecuatorial, en la que hemos insertado los trazados de líneas del reloj horizontal, el de arcos capaces de las horas II y III coincidentes en el punto M y la forma de obtener la latitud.
Por último decir que los mismos pasos expuestos en el apartado Cálculo de líneas horarias de un reloj horizontal nos servirán para determinar las de un reloj plano de orientación vertical, solo que ahora en lugar de tener en cuenta el ángulo λ, deberemos aplicar la colatitud (90 – λ) que es ángulo que formaría el gnomon con la pared en los relojes verticales. .
Esteban Martínez
Otoño de 2022
Notas
(1)
La inscripción en el respectivo Inventario/Registro/Catálogo, a falta de su inclusión de oficio, puede solicitarse por cualquier persona física o jurídica, para lo que, en el caso andaluz, incluso se ha aprobado un formulario normalizado en el que se debe realizar una descripción de la pieza gnomónica y aportar cuanta documentación escrita o fotográfica se considere oportuna, y que una vez presentado la Administración debe dictar y notificar resolución expresa en un plazo de tres meses. Recogido en la Orden de 12 de febrero de 2020, publicada BOJA nº 35, de 20/02/2020, página 95 y ss. descargable desde este enlace. ▲
(2)
Carlos Esteve Secall es autor de varias obras de estudio gnomónico, entre ellas la Tesis Doctoral “La ciencia gnomónica en la España del siglo XVI: análisis, desarrollo y evolución de las técnicas horolográficas”, descargable aquí y “El cuadrante solar del Real Monasterio de San Jerónimo de Granada”, editado por Universidad de Granada. ▲